CÁLCULO INTEGRAL

CALCULO DIFERENCIAL

Definición de Derivada

Las derivadas se definen tomando el límite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente.

Es difícil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una función porque sólo conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la función. Por ello, aproximaremos la recta tangente por rectas secantes. Cuando tomemos el límite de las pendientes de las secantes próximas, obtendremos la pendiente de la recta tangente.

Para obtener estas pendientes, tomemos un número arbitrariamente pequeño que llamaremos h. h representa una pequeña variación en x, y puede ser tanto positivo como negativo. La pendiente de la recta entre los puntos ( x, f(x)) y (x + h, f(x + h))es

$f(x+h)-f(x)\over h$

Esta expresión es un Cociente Diferencial de Newton. La derivada de f en x es el límite del valor del cociente diferencial conforme las líneas secantes se acercan más a la tangente:

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}$

Si la derivada de f existe en cada punto x, podemos definir la derivada de f como la función cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x.

Puesto que la inmediata sustitución de h por 0 da como resultado una división por cero, calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo. Una técnica es simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada. Esto resulta muy sencillo con funciones polinómicas, pero para la mayoría de las funciones resulta demasiado complicado. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan la diferenciación de la mayoría de las funciones descritas.

Notaciones para la diferenciación

La derivada de una función puede a su vez ser diferenciable, hablándose entonces de segunda derivada de la función como la derivada de la derivada de ésta. Análogamente, la derivada de la segunda derivada recibe el nombre de tercera derivada, y así sucesivamente.

A partir de la segunda derivada: f " (a) hasta la enésima derivada: $f^{n}(a) \,\!$ reciben el nombre de Derivada de Orden Superior.

La notación más simple para la diferenciación que se utiliza en la actualidad se debe a Lagrange y utiliza un apóstrofo o comilla: ′. De esta manera se expresan las derivadas de la función f(x) en el punto $x=a$ , se escribe:

$f'(a) \,\!$ para la primera derivada,

$f''(a) \,\!$ para la segunda derivada,

$f'''(a) \,\!$ para la tercera derivada, y luego de forma general,

$f^{n}(a) \,\!$ para la n-ésima derivada (donde normalmente se da que n > 3).

Para la función cuyo valor en cada $x$ es la derivada de $f(x) \,\!$ , se escribe $f'(x) \,\!$ . De forma similar, para la segunda derivada de $f$ se escribe $f''(x) \,\!$ , y así sucesivamente.
La otra notación común para la diferenciación se debe a Leibniz. Para la función cuyo valor en $x$ es la derivada de $f$ en $x$ , se escribe:

$\frac{d(f(x))}{dx}$

Se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos formas distintas:

$\frac{df}{dx}\left.{\!\!\frac{}{}}\right|_{x=a} = \frac{df}{dx}(a).$

Si la resultante de f(x) es otra variable, por ejemplo, si y=f(x), se puede escribir la derivada como:

$\frac{dy}{dx}$

Las derivadas de orden superior se expresan así

$\frac{d^n(f(x))}{dx^n}$ o $\frac{d^ny}{dx^n}$

para la n-ésima derivada de f(x) o y respectivamente. Históricamente, esto proviene del hecho de que, por ejemplo, la tercera derivada es:

$\frac{d \left(\frac{d \left( \frac{d \left(f(x)\right)} {dx}\right)} {dx}\right)} {dx}$

que se puede escribir sin mucho rigor como:

$\left(\frac{d}{dx}\right)^3 \left(f(x)\right) = \frac{d^3}{\left(dx\right)^3} \left(f(x)\right).$

Eliminando las llaves nos da la notación que está arriba.
La notación de Leibniz es tan versátil que permite especificar la variable que se utilizará para la diferenciación (en el denominador). Esto es específicamente relevante para la diferenciación parcial. Y también hace más fácil de recordar la regla de la cadena, debido a que los términos "d" se cancelan simbólicamente:

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ .

Sin embargo, es importante recordar que los términos "d" no se pueden cancelar literalmente, debido a que son un operador diferencial. Sólo se utilizan cuando se usan en conjunto para expresar una derivada.
La notación de Newton para la diferenciación consiste en poner un punto sobre el nombre de la función:

$\dot{x} = \frac{dx}{dt} = x'(t)$

$\ddot{x} = x''(t)$

y así sucesivamente.
La notación de Newton se utiliza principalmente en la mecánica, normalmente para las derivadas con respecto al tiempo tales como la velocidad y la aceleración y en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Normalmente sólo se utilizan para la primera y segunda derivadas.
Otra notación consiste en colocar una letra 'D' mayúscula para indicar la operación de diferenciación con un subíndice que indica la variable sobre la que se derivará:

${\mathrm D}_x f \,$ ,